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微积分的力量 作者是康奈尔大学应用​​数学系教授、著名教师和数学家。他为《纽约时报》和《纽约客》撰写数学博客,并且是科普电台和《科学星期五》的常驻嘉宾。他的主要代表作是《X的奇幻之旅》。他目前住在纽约伊萨卡。

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简介

微积分是人类历史上最伟大的智力成就之一,是数学中不可或缺的重要分支。此外,我们更应该注意的是,没有微积分,人类就不可能发明电视、微波炉、手机、GPS、激光视力矫正手术、孕妇超声检查、发现冥王星、破译人类。基因组。 ,治愈艾滋病,并弄清楚如何将 5,000 首歌曲收入囊中。

微积分在人类文明进程中这些具有里程碑意义的发明和发现的背后起到了什么作用?围绕曲线、运动和变化的奥秘,毕达哥拉斯、阿基米德、伽利略、开普勒、牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦、薛定谔等如何用“微积分之匙”“打开”宇宙奥秘的“锁”?这些谜题的解决方案对人类文明的进程和我们的日常生活产生了深远的影响吗?

在“微积分的力量”中,应用数学家兼“导游”斯托加茨将采用“讲故事”和“展览”的方式来揭示答案。 “我们不必学习如何做运算来理解微积分的重要性,就像我们不必为了享受食物而学习如何烹饪一样。我将尝试解释您需要了解的关于微积分的知识,用图片、比喻、轶事等,我也会给大家介绍一些有史以来最精炼的方程式和证明,就像我们参观艺术展时不会错过代表作品一样。”

当我们中的许多人在高中和大学时回避这门学科时,Stogatz 以一种新鲜而扎实的方式向我们讲述了微积分的历史。相信读完《微积分的力量》,我们会对微积分有更立体、更生动的认识,就像欣赏名画名曲一样,发现微积分的美。

什么是微积分

微积分是一个数学概念,是研究微分函数、积分函数以及相关概念和在高等数学中的应用的数学分支。它是数学的一门基础学科,其内容主要包括极限、微分、积分及其应用。微积分包括求导的运算,是一组关于变化率的理论。它使函数、速度、加速度和曲线斜率能够用一组通用符号来讨论。积分学,包括求积分的运算,提供了一套定义和计算面积、体积等的通用方法。

微积分的基本概念和内容包括微积分和积分。

微积分的主要内容包括:极限论、导数、微分等。

积分学的主要内容包括:定积分、不定积分等。

从广义上讲,数学分析包括微积分、函数论等许多子学科,但现在普遍习惯将数学分析等同于微积分。数学分析已成为微积分的代名词。知道意味着微积分

精彩的书摘

没有微积分,我们就没有手机、电脑、微波炉、收音机、电视、孕妇超声波仪和用于为迷路的旅行者导航的 GPS(全球定位系统)。我们不能分裂原子,破解人类基因组,不能把宇航员送上月球,甚至不能发表独立宣言。

有一种罕见而有趣的历史观点认为,世界被一个神秘的数学分支彻底改变了。最初与形状相关的理论如何最终重塑文明?

当物理学家理查德费曼与小说家赫尔曼沃克讨论曼哈顿计划时,我们可以从他的一句俏皮话中看到这个问题的答案。沃克正在研究一本他计划写的关于二战的小说,他去加州理工学院采访了曾研究过原子弹的物理学家,包括费曼。采访结束时,费曼问沃克他是否知道微积分。沃克承认他不懂,费曼说:“你最好学微积分,这是上帝的语言。”

宇宙是高度数学化的,但没有人知道为什么。对于一个包括我们在内的宇宙来说,这可能是唯一可行的方法,因为一个非数学的宇宙无法容纳可以提出这个问题的智能生命。无论如何,我们的宇宙所遵循的自然规律最终总是可以用微积分的语言和微分方程的形式来表达,这是一个神秘而不可思议的事实。这种类型的方程描述了某个时刻与下一个时刻之间的差异,或此时某事物与无限接近该点的下一个点之间的差异。虽然细节会根据我们讨论的内容而有所不同,但自然法则的结构总是相同的。这个惊人的主张也可以表达为好像有一个宇宙代码,一个让一切时刻都在变化的操作系统。微积分采用了这个规则并制定了它。

艾萨克·牛顿是第一个看到这个宇宙奥秘的人。他发现行星的轨道、潮汐的节奏和炮弹的弹道都可以用一组微分方程来描述、解释和预测。今天,我们将这些方程称为牛顿运动定律和万有引力定律。自牛顿以来,每次发现一个新的宇宙之谜时,我们都会发现同样的模式也奏效了。从地球、空气、火和水的古老元素到最新的电子、夸克、黑洞和超弦,宇宙中的一切无生命的事物都遵循微分方程的规则。我敢打赌,这就是费曼说“微积分是上帝的语言”时的意思。如果有什么东西叫做宇宙之谜,那就是微积分。

人类在不经意间发现了这种奇怪的语言(先是在几何的隐秘角落,然后是宇宙密码),学会了熟练地使用它,并破译了它的成语和精妙之处,最终用它的预测能力重构了世界。

这是本书的中心论点。

如果这个论点是正确的,这意味着关于生命、宇宙和一切的终极问题的答案不是 42,为此我向道格拉斯·亚当斯和《银河系漫游指南》的粉丝们道歉。但 Deep Thought(《银河系漫游指南》中的超级计算机)走在了正确的轨道上,因为宇宙的奥秘实际上是一系列数学问题。

费曼的妙语“微积分是上帝的语言”引发了许多深刻的问题。什么是微积分?人类如何确定它是上帝的语言(或者宇宙是基于这种语言运行的)?什么是微分方程?在牛顿时代和我们时代,微分方程给世界带来了什么?最后,如何将这些故事和观点有趣而清晰地传达给像赫尔曼沃克这样的友好读者,他深思熟虑、好奇、知识渊博,几乎没有高等数学?

沃克在与费曼的相遇结束时写道,他已经有 14 年没有时间研究微积分了。他关于二战的小说从最初计划的一部变成了两部——《战争中的战争》和《战争与回忆》,每部约 1,000 页长。完成这两本小说后,他尝试通过阅读《微积分变得容易》之类的书自学微积分,但效果不佳。他翻阅了几本教科书,用他自己的话说,希望“能找到一本合适的书,可以帮助像我这样对数学一无所知的人

人。少年时对存在的意义有一种渴望,大学时只学过文学、哲学等人文学科,不知道别人说的难、无聊、没用的微积分竟然是上帝的语言。”在发现自己看不懂课本后,他聘请了一位以色列数学家教,希望能跟着他学一点微积分,提高他的希伯来语口语,但这两个愿望都落空了。无奈之下,他参加了高中微积分课程的旁听课,但由于落后,几个月后不得不放弃。当他走出教室时,孩子们为他鼓掌,他说这就像一场糟糕的战斗。表演赢得了热烈的掌声。

我写这本书是为了让每个人都能了解有关微积分的最佳想法和故事。我们不必采用赫尔曼沃克的方法来研究这一人类历史上具有里程碑意义的学科,尽管微积分是人类最具启发性的集体成就之一。我们不必学习如何做算术来理解微积分的重要性,就像我们不必学习如何烹饪食物来享受它一样。我将尝试借助图片、隐喻、轶事等来解释我们需要知道的一切。我还会向您介绍有史以来最好的

精美的方程式和证明,就像我们在参观画廊时不会错过的杰作。至于赫尔曼·沃克,当我写这本书时,他已经 103 岁了。我不知道他是否学过微积分,如果没有,这本书是给沃克先生的。

现在你应该清楚了,我将从应用数学家的角度讲述微积分的故事和重要性。虽然数学史家会选择不同的视角,但纯数学家也会选择不同的视角。作为一名应用数学家,真正吸引我的是我们周围的现实世界和我们心目中的理想世界之间的相互作用。外部现象引导我们提出数学问题;反过来,我们的数学想象力有时会预测现实世界的事件。当这一切发生时,它将产生不可思议的影响。

成为一名应用数学家既需要外向的思维方式,也需要广泛的知识基础。对于我们这些在该领域的人来说,数学并不是一个原始的、封闭的、自我认同的定理和证明的世界。 7 我们将拥抱各种学科:哲学、政治学、科学、历史、医学等。所以,我想告诉你的故事是:一个由微积分主宰的世界。

这是一个比以往更广泛的微积分观点,包括许多数学分支和相邻学科,它们要么是微积分的“表亲”,要么是“副产品”。因为这个“大帐篷”的观点非常规,我想确保它不会引起任何混乱。例如,我之前说过,没有微积分,我们就没有电脑和手机等等。我当然不是说微积分本身就能创造所有这些奇迹。远非如此,科技是不可或缺的伙伴,或者说是这部剧的主角。可以这么说,虽然微积分经常起到辅助作用,但它也为塑造我们今天的世界做出了重要贡献。

以无线通信的历史为例。它始于迈克尔法拉第和安德烈马。关于磁体、电流及其不可见力场的重要事实将仍然未知,无线通信的可能性将永远不会实现。所以实验物理学显然在这里扮演着不可或缺的角色。

但是,微积分同样重要。在 1860 年代,一位名叫詹姆斯克拉克麦克斯韦的苏格兰数学物理学家将电磁场的基本实验定律改写为可以执行微积分运算的符号形式。经过一番改造,他得到了一个毫无意义的方程式,显然少了点什么。怀疑安培定律是罪魁祸首并试图解决它,麦克斯韦在他的方程中添加了一个新项——一个可以解决矛盾的假设电流——然后做了一点微积分。这次他得到了一个合理的结果——一个简洁的波动方程 9,很像描述池塘中涟漪传播的方程。只是麦克斯韦方程组还预测了一种新波的存在,这种波是由相互作用的电场和磁场产生的。变化的电场产生变化的磁场,变化的磁场产生变化的电场,以此类推,每个场都引导另一个场向前,以行波的形式向外传递能量。当麦克斯韦计算这波的速度时,他发现它以光速运动,这绝对是历史上最令人惊讶的时刻之一。所以他不仅用微积分来预测电磁波的存在,还解决了一个古老的谜团:光的特性是什么?他意识到光是一种电磁波。

麦克斯韦对电磁波的预测促使 Heinrich Hertz 在 1887 年进行了一项实验,证明了电磁波的存在。十年后,尼古拉·特斯拉建成了第一个无线电通信系统;又过了五年,Galilmore Marconi 发送了第一个跨大西洋无线电报。然后是电视、手机和其他设备。

显然,微积分无法单独完成所有这些工作。但同样明显的是,如果没有微积分,这一切都不会发生。或者更准确地说,即使有可能,也需要很长时间。

 

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| ├──微积分的力量_史蒂夫·斯托加茨 (Steven Henry Strogatz)_.pdf 4.0MB
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